数学之美(12):余弦定理和新闻的分类

当两条新闻向量夹角的余弦等于一时,这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时,两条新闻相似,从而可以归成一类;夹角的余弦越小,两条新闻越不相关。

余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事,但是它们确有紧密的联系。具体说,新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。

Google 的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻,它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点,我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。

我们来看看怎样找一组数字,或者说一个向量来描述一篇新闻。回忆一下我们在“如何度量网页相关性”一文中介绍的TF/IDF 的概念。对于一篇新闻中的所有实词,我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值(TF/IDF)。不难想象,和新闻主题有关的那些实词频率高,TF/IDF 值很大。我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的 TF/IDF 值排序。比如,词汇表有六万四千个词,分别为

单词编号 汉字词
——————
1 阿
2 啊
3 阿斗
4 阿姨

789 服装
….
64000 做作

在一篇新闻中,这 64,000 个词的 TF/IDF 值分别为

单词编号 TF/IDF 值
==============
1 0
2 0.0034
3 0
4 0.00052
5 0

789 0.034

64000 0.075

如果单词表中的某个次在新闻中没有出现,对应的值为零,那么这 64,000 个数,组成一个64,000维的向量。我们就用这个向量来代表这篇新闻,并成为新闻的特征向量。如果两篇新闻的特征向量相近,则对应的新闻内容相似,它们应当归在一类,反之亦然。

学过向量代数的人都知道,向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致,即夹角接近零,那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致,这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。

余弦定理对我们每个人都不陌生,它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系,换句话说,给定三角形的三条边,我们可以用余弦定理求出三角形各个角的角度。假定三角形的三条边为 a, b 和 c,对应的三个角为 A, B 和 C,那么角 A 的余弦 –

如果我们将三角形的两边 b 和 c 看成是两个向量,那么上述公式等价于

其中分母表示两个向量 b 和 c 的长度,分子表示两个向量的内积。举一个具体的例子,假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是
x1,x2,…,x64000 和
y1,y2,…,y64000,
那么它们夹角的余弦等于,

当两条新闻向量夹角的余弦等于一时,这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时,两条新闻相似,从而可以归成一类;夹角的余弦越小,两条新闻越不相关。

我们在中学学习余弦定理时,恐怕很难想象它可以用来对新闻进行分类。在这里,我们再一次看到数学工具的用途。

作者:吴军 ,毕业于清华大学,曾任Google科学家,腾讯副总裁。著有《数学之美》、《浪潮之巅》、《文明之光》等作品。“数学之美”系列文章原刊载于谷歌黑板报,获得上百万次点击,并被热情的读者广为传播,得到高度评价。

在《数学之美》中吴军老师将带领你领略数学之美,架起从数学到应用的桥梁,教会你如何化繁为简,如何用数学解决工程问题,如何打破思维定式不断思考创新。

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